张量代数

张量代数是你能从一个向量空间造出的最宽松的代数：它让你自由地相乘向量，除了作为结合代数所被迫满足的关系外，不施加任何关系。把向量想成字母、乘积想成拼接——一个『词』就是一串向量，再把词的形式组合相加。什么都不交换、什么都不坍缩；它是该空间上的自由结合代数。

给定 R-模 V，令 T^0(V) = R，T^1(V) = V，T^k(V) = V ⊗ ... ⊗ V（k 个因子）。张量代数是直和 T(V) = ⊕_{k≥0} T^k(V)，乘法由张量的拼接给出，(v_1 ⊗ ... ⊗ v_p)·(w_1 ⊗ ... ⊗ w_q) = v_1 ⊗ ... ⊗ v_p ⊗ w_1 ⊗ ... ⊗ w_q。这使 T(V) 成为以 T^0 中的 1 为单位元的分次结合 R-代数。

它的定义特征是一条万有性质：任何到结合 R-代数 A 的 R-线性映射 V -> A 都唯一地延拓为代数同态 T(V) -> A。于是在代数范畴中 T(V) 在 V 上是自由的。外代数与对称代数都是 T(V) 的商——分别对由 v ⊗ v 生成的理想、以及由 v ⊗ w − w ⊗ v 生成的理想作商——故张量代数是雕琢出其余者的共同母体。