泛包络代数
李括号并不是结合乘法，但它非常想成为某个结合代数里的换位子。泛包络代数是满足这一愿望的最经济的结合代数：它的构造使抽象括号 [x, y] 真正变成换位子 xy - yx，而且做得尽可能自由，除括号本身所要求的关系外不附加任何关系。它是把李理论翻译成结合代数与模的语言的装置。
具体地说，U(L) 是张量代数 T(L) 对由所有形如 x (tensor) y - y (tensor) x - [x, y] 的元素生成的双边理想取的商。它带有一个李代数映射 i : L -> U(L)，并满足泛性质：从 L 到任一结合代数 A（的换位子李代数）的任何李代数同态，都唯一地通过一个结合代数同态 U(L) -> A 分解。特别地，L 的表示恰好就是 U(L) 上的模。
庞加莱-伯克霍夫-维特（PBW）定理确定了 U(L) 的“大小”：若 x_1, ..., x_n 是 L 的一组有序基，则有序单项式 x_1^{a_1} ... x_n^{a_n} 构成 U(L) 的一组基。特别地，映射 i : L -> U(L) 是单射，所以 L 确实嵌入某个结合代数中，而即便 L 本身高度不可交换，U(L) 也大得像一个多项式环。
对 1 维阿贝尔李代数 L = span(x)，没有非平凡括号，故 U(L) = k[x]，即单变量多项式环。对满足 [x, y] = z（z 在中心）的海森堡代数，U(L) 是一个类外尔代数的环，其中 xy - yx = z 作为真正的恒等式成立。
阿贝尔 L 的 U(L) 是多项式环；海森堡代数的 U(L) 则是外尔代数的近亲。
当 L 阿贝尔时，关系 x (tensor) y - y (tensor) x - 0 仅强加可交换性，故 U(L) 就是 L 上的多项式环（对称代数）。PBW 表明，一般而言 U(L) 作为向量空间并不比这个可交换的影子更大。