李代数

设想你有一个光滑的对称变换群——比如球面的旋转——而你想研究它时不是一下子把整体看完，而是只看单位元附近、动作极其微小的那一块。把群在单位元处求导，就把弯曲的对称空间“压平”成一个向量空间，而两个微小对称变换不可交换的程度则保留下来，成为一个新的运算，叫做括号。李代数恰好就是这个线性化后的影子：一个向量空间，带着刚好足够的代数结构，记住原来的对称变换是怎样不可交换的。

精确地说，域 k 上的李代数是一个 k-向量空间 L，配备一个双线性映射 [ , ] : L x L -> L，称为括号，满足两条公理：它是交错的，即对一切 x 有 [x, x] = 0（这迫使反对称性 [x, y] = -[y, x]），并且满足雅可比恒等式 [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0。注意这里既不要求结合律，也不要求有乘法单位元；括号一般两者都不满足。

最具启发性的例子是：任何结合代数 A 都可通过令 [x, y] = xy - yx（即换位子）变成李代数。特别地，n 阶矩阵在换位子下构成李代数 gl(n, k)；其迹为零的部分是 sl(n, k)。在 R 或 C 上，每个有限维李代数都（经由李群对应）作为某个李群在单位元处的切空间出现，而括号记录的正是群乘法的二阶不可交换性。