李代数
雅可比恒等式
数的乘法是结合的——因子怎么分组都无所谓。李括号不结合，所以我们需要一条替代的法则来维持结构的协调。雅可比恒等式就是这条法则：它精确地说明，与一个固定元素作括号的行为就像求导，服从莱布尼茨乘积法则。它是反对称性所要付出的代价，也正是它使李代数表现良好而不致混乱。
该恒等式写作：对一切 x, y, z 有 [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0——这是对三个元素的循环求和。等价地，令 ad(x)(y) = [x, y]，它说 ad(x)[y, z] = [ad(x)y, z] + [y, ad(x)z]；即每个 ad(x) 都是括号的导子。这是记住它最干净的方式：与 x 作括号尊重括号，正如 d/dt 尊重乘积。
对任何结合代数中的换位子 [x, y] = xy - yx，该恒等式自动成立——经一段简短计算，六个三重乘积全部相消。所以结合乘法暗中已经包含了雅可比恒等式，这正是为什么每个结合代数在换位子下都给出一个李代数。
对 R^3 上的叉积，雅可比恒等式就是经典的向量恒等式 a x (b x c) + b x (c x a) + c x (a x b) = 0，等价于“bac 减 cab”法则 a x (b x c) = b(a . c) - c(a . b)。
向量三重积恒等式正是伪装下的雅可比恒等式。
反对称性加上雅可比恒等式就是全部定义；这里没有结合律可言。导子形式 ad(x)[y, z] = [ad(x)y, z] + [y, ad(x)z] 正是把李代数与伴随表示联系起来的纽带。
另见