李代数
伴随表示
李代数总带有一个仅由自身括号造出的标准表示：让每个元素通过与之作括号而作用于整个代数。这种自作用，即伴随表示，是代数“审视自身”的方式，也是定义幂零性、基灵型、根空间等结构概念所用的透镜。括号同时既是乘法，又是代数作用于自身的方式。
定义 ad : L -> gl(L)，ad(x)(y) = [x, y]。雅可比恒等式恰恰就是“ad 是李代数同态”这一陈述：ad([x, y]) = ad(x)ad(y) - ad(y)ad(x) = [ad(x), ad(y)]。所以 L 作用在向量空间 L 自身上，而对每个 x，ad(x) 都是该空间上的一个线性算子（事实上是一个导子）。
ad 的核是中心 Z(L)——那些与一切元素作括号都为零的元素——因此对中心平凡的李代数，ad 把 L 忠实地嵌入 gl(L) 成为矩阵。对半单李代数，中心为零，伴随表示是忠实的；而且半单李代数的每个导子都是内导子，即形如 ad(x)。
对 sl(2)，取基 (h, e, f)，ad(h) 对角作用，在 h, e, f 上的特征值分别为 0, 2, -2，因为 [h, h] = 0，[h, e] = 2e，[h, f] = -2f。所以作为 3x3 矩阵 ad(h) = [0, 0, 0; 0, 2, 0; 0, 0, -2]。
sl(2) 上的 ad(h)：一个对角算子，其特征值 0, 2, -2 恰是根（及零）。
伴随表示是李群通过共轭作用于自身的李代数影子；把 g x g^{-1} 在单位元处求导即得 ad(X)(Y) = [X, Y]。
另见