卡当子代数

要理解一个复杂的线性算子，就把它对角化；要理解整个半单李代数，就找出一组可以同时对角化的、极大的元素。卡当子代数正是这样一块极大的、彼此可同时对角化的阿贝尔部分——代数的“坐标轴”。把代数的其余部分按这个子代数分解成特征子空间，正是产生根系、并解锁整个分类的关键。

抽象地说，有限维李代数 L 的卡当子代数是一个幂零子代数 H，它等于自己的正规化子：N_L(H) = H。对特征零的代数闭域上的半单李代数，这简化为具体图景：H 是一个极大阿贝尔子代数，其全部元素在伴随表示下都可对角化（即半单）。这样的 H 总是存在，且彼此共轭，因此它们的公共维数——L 的秩——是一个不变量。

给定 H，伴随作用把 L 分解为同时特征子空间：L = H (+) (对 alpha 求和 L_alpha)，其中每个在此出现的、H 上的非零线性泛函 alpha 称为根，L_alpha 是它的根空间。这个卡当分解是结构理论的引擎：这些根构成一个根系，而关于 L 的几乎一切都编码在那个有限的向量集合里。