李子代数

在一个大的对称代数内部，常常藏着一些更小的自足世界——一些无穷小对称的集合，它们彼此封闭、永不逃逸出去。李子代数就是这样一块封闭的部分：一个子空间，在其中任取两个成员作括号都不会带你跑到它外面去。它是李理论中子群或子环的类比。

形式地，李代数 L 的子空间 M 若在括号下封闭，则称为李子代数：只要 x, y 属于 M，就有 [x, y] 属于 M。由于括号在整个 L 上已经是双线性、反对称且满足雅可比的，这些性质自动被继承，所以 M 自身就是一个李代数。唯一需要验证的就是封闭性。

子代数未必是理想：M 内部元素之间作括号封闭，比 [M, L] 含于 M 这一要求要弱。例如，迹为零的对角矩阵构成 sl(n) 的一个阿贝尔子代数（一个卡当子代数），但它不是理想——一个对角矩阵与一个非对角矩阵作括号会落到对角矩阵之外。