幂零李代数

有些李代数几乎是阿贝尔的：括号并不为零，但若你不断重复作括号，结果会在有限步内逐渐缩向零。幂零李代数就是这样一种：反复作括号的效果如此微弱，以至于最终彻底消失。原型是严格上三角矩阵，把足够多个它们相乘总会得到零。

定义 L 的下中心列：L^1 = L，L^{k+1} = [L, L^k]；每一项都是含下一项的理想。若这条下降链到达零，即对某个 c 有 L^{c+1} = 0，则称 L 为幂零的，最小的这样的 c 称为幂零类。等价地，任何长度为 c+1 的迭代括号都为零：对一切取法 [x_0, [x_1, [..., x_c]...]] = 0。

幂零蕴含可解，但反之不然——可解只要求导出列趋于零，那是更弱的下降。恩格尔定理给出可操作的判别法：L 幂零当且仅当对每个 x 属于 L，ad(x) 都是幂零算子。非零幂零李代数的中心总是非零的，这与幂零群的同一事实相呼应。