恩格尔定理

设想一个李代数的每个元素，当它通过作括号作用于该代数自身时，都是幂零算子——作用足够多次就得到零。直觉上每个生成元都各自“软弱”。恩格尔定理说，这种个体的软弱会合谋成集体的软弱：整个代数必定是幂零的。局部的幂零性迫使整体的幂零性。

对有限维李代数 L 来说：L 幂零当且仅当对每个 x 属于 L，ad(x) 都是幂零自同态。困难的方向是“当”这一半。其背后的关键线性代数引理是：若 L 是非零有限维向量空间 V 上一族幂零算子构成的李代数，则存在一个被它们全部零化的非零向量 v，即 Lv = 0；反复使用便得到一面旗，使每个算子都成为严格上三角的。

条件只关乎 ad-幂零性这一内蕴性质，却推出一个表示论式的结论（公共特征向量、同时严格三角化）。恩格尔定理是幂零情形的基石；李定理则是它在可解情形的伴侣，减弱了假设、也减弱了结论，并附加了特征零的代数闭域条件。