李代数
可解李代数
当一个李代数的不可交换性能够分阶段地被“解开”时，它就是可解的：先取一切元素的括号，再取这些括号的括号，如此下去，最终到达零。这个名字呼应了伽罗瓦理论中的可解群，并非偶然——李代数的可解性正是“由阿贝尔层逐级搭建”这一性质的无穷小版本，也正是用根式解多项式背后的那个性质。
定义导出列：L^{(0)} = L，L^{(k+1)} = [L^{(k)}, L^{(k)}]。每一项都是 L 的理想（实际上是前一项中的理想）。若对某个 m 有 L^{(m)} = 0，则称 L 可解。等价地，L 有一条有限的子代数链 L = L_0 > L_1 > ... > L_m = 0，其中每个 L_{i+1} 是 L_i 的理想且商为阿贝尔的。
每个幂零李代数都可解；反之不成立。在特征零的代数闭域上，李定理说明可解的矩阵代数可被同时化为上三角形，因此上三角矩阵就是普适的例子。还存在一个最大的可解理想，称为根基，其商是半单的——这就是莱维分解。
二维非阿贝尔李代数，取基 x, y，括号 [x, y] = y，满足 L^{(1)} = [L, L] = span(y)，L^{(2)} = 0。它可解但不幂零，因为 ad(x) 在 y 上作为恒等映射，故并不幂零。
唯一的二维非阿贝尔李代数：可解但不幂零。
卡当可解性判别法给出一个干净的迹检验：一个矩阵李代数可解，当且仅当对每个 x 属于 [L, L] 与每个 y 属于 L，都有 trace(xy) = 0。
另见