李代数
半单李代数
如果可解代数是松软的、由阿贝尔层搭起来的，那么半单代数就是它们刚硬的对立面——它们里面完全没有可解的“腐烂”。它们是最干净、最对称的李代数，由不可再分的单块拼成，并且正是那些有限维表示表现得尽可能好的代数。经典矩阵代数 sl(n)、so(n)、sp(2n) 就是首要例子。
特征零的域上一个有限维李代数 L，若其根基（最大可解理想）为零，则称为半单的；等价地，L 没有非零阿贝尔理想。决定性的结构定理说，半单的 L 是若干单理想的直和 L = L_1 (+) ... (+) L_r，这是李代数意义下的直和，且当 i 不等于 j 时 [L_i, L_j] = 0。所以半单不过就是有限个单代数的直和。
半单性有一个漂亮的可操作判别（卡当判别法）：L 半单当且仅当其基灵型非退化。在特征零的代数闭域上，外尔完全可约定理成立——每个有限维表示都分解为不可约表示的直和——而那些单的直和项则由邓金图完全分类。
sl(2, C) 是单的，故半单；sl(2, C) (+) sl(2, C) 半单但不单。相比之下 gl(n, C) = sl(n, C) (+) (中心) 不半单，因为它的 1 维中心是一个非零阿贝尔理想。
单是单独一块；半单是若干块的直和；gl(n) 还带着多余的阿贝尔“包袱”。
每个半单李代数都等于自身的导出代数 [L, L] = L，这与可解（其迭代导出代数最终消失）截然相反。约化代数是一个半单部分与一个阿贝尔中心的直和；gl(n) 是约化的但不半单。
另见