李代数
基灵型
李代数本身没有明显的长度或角度概念，但它可以从自己的括号中“制造”出一个。每个元素 x 通过作括号作用于代数（即映射 ad(x)）；把两个这样的作用复合再取迹，就得到一个对称地依赖于这两个元素的数。这个纯由代数内部结构造出的标准对称配对，就是基灵型，而它的退化与否能读出深刻的结构事实。
定义基灵型为 B(x, y) = trace(ad(x) ad(y))，其中 ad(x)(z) = [x, z]。它是 L 上的对称双线性型，并且是不变的（结合的）：B([x, y], z) = B(x, [y, z])。这种不变性迫使 B 的根（退化子空间）成为 L 的理想，这正是把该型与代数的理想结构联系起来的关键。
两个卡当判别法使基灵型成为核心的诊断工具（在特征零下）。可解性：L 可解当且仅当对一切 x 属于 [L, L] 与 y 属于 L 有 B(x, y) = 0。半单性：L 半单当且仅当 B 非退化。所以一次迹的计算就能区分李代数这两个极端的类别。
对 sl(2, C)，取基 e, f, h，可算得 B(h, h) = 8，B(e, f) = B(f, e) = 4，其余配对全为零。其格拉姆矩阵非退化（行列式非零），证实 sl(2, C) 是半单的。
sl(2, C) 上非退化的基灵型证明了半单性。
这些判别法要求特征零（最干净的形式还要求代数闭）。在正特征下，即便对单李代数，基灵型也可能退化，所以在那里它不是可靠的判别工具。
另见