对称双线性形式

设想用某种方式度量两个向量之间的‘关系’，而这种方式并不在意你先点名哪一个。点积恰恰如此：u · v 等于 v · u。对称双线性形式正是把这种不偏不倚抽象出来——交换两个输入绝不改变结果。正是这类配对支撑起长度、角度与正交的概念。

形式上，V 上的双线性形式 B 称为对称的，若对一切 u, v ∈ V 有 B(u, v) = B(v, u)。就任一格拉姆矩阵 G 而言，这等价于 G = G^T，即矩阵对称。当特征不为 2 时，对称双线性形式恰好是由二次形式经极化所得的形式，因此对称形式理论与二次形式理论是同一主题的两个视角。

当 B(u, v) = 0 时称两向量正交。正交性使人能构造正交基并把 V 分解为若干块，从而导向对角化、秩与符号差，最终给出形式的分类。在特征 2 中，与二次形式的联系会失效——对称与交错在对角线上重合——因此那时必须把二次形式本身当作首要数据来处理。