双线性与二次形式
二次形式
二次形式是单变量表达式 x^2 的多变量推广。正如平方按二次缩放（x 翻倍则 x^2 变为四倍），向量空间上的二次形式 Q 满足 Q(av) = a^2 Q(v)，其表达式是坐标的二次齐次多项式——只出现形如 x_i x_j 的项，绝不会有孤立的 x_i 或常数项。它正是度量长度平方、能量与曲率的恰当对象。
具体地说，域 K 上 V 的二次形式是一个映射 Q : V → K，对一切标量 a 满足 Q(av) = a^2 Q(v)，且使映射 B(u, v) = Q(u + v) - Q(u) - Q(v) 为双线性的。此 B 是对称的，称为伴随（极）双线性形式。在坐标下 Q(x) = 对 i ≤ j 求和的 a_ij x_i x_j；当 K 的特征不为 2 时，它等于 x^T A x，其中 A 为对称矩阵，由折半之和在对角线上还原出 Q。
当特征不为 2 时，二次形式与对称双线性形式互相决定：Q(v) = B(v, v) 由 B 还原 Q，而极化由 Q 还原 B。在特征 2 中此对应失效，二次形式所含信息严格多于其极形式；这时人们就用上述两条公理定义二次形式，仅把极形式留作辅助不变量。
Q 上 Q(x, y) = x^2 + xy + y^2 是一个二次形式；其极双线性形式为 B((x,y),(x',y')) = 2xx' + xy' + x'y + 2yy'，对称，矩阵为 [2, 1; 1, 2]。注意 Q(v) = (1/2) B(v, v)。
Q 上的一个二元二次形式及其极形式。
‘二次空间’是配备了二次形式的向量空间。在等距同构意义下对二次空间进行分类——借助秩、判别式、符号差、哈塞不变量——是整个领域的核心目标之一。
另见