多项式的判别式

判别式是从多项式系数算出的单个数，用以检测该多项式是否有重根。它推广了二次公式中熟悉的 b^2 - 4ac：当它为零时，有两个根相撞；当它非零时，所有根互不相同。

形式地说，对次数为 n、首项系数为 a_n、在分裂域中根为 r_1, ..., r_n 的多项式 f，其判别式为 disc(f) = a_n^{2n-2} 乘以所有 i < j 的 (r_i - r_j)^2 之积。由于它是根的对称函数，对称函数基本定理保证它是 f 系数的多项式，因而无需求出根即可计算。它恰好在某 i != j 使 r_i = r_j 时为零，即 f 有重根时为零，等价地当 gcd(f, f') 非平凡时为零。

在伽罗瓦理论中，判别式携带群论信息。判别式的平方根，即 (r_i - r_j) 在 i < j 上的乘积，恰好被根的偶置换所固定。因此对可分多项式而言，伽罗瓦群（视为作用于根的置换群）落在交错群 A_n 内当且仅当 disc(f) 是基域中的平方。对三次多项式而言，这正是区分伽罗瓦群 A_3 与 S_3 的判据。