作为置换群的伽罗瓦群

伽罗瓦群抽象地说是一个域自同构群，但它有一张鲜活的具体面孔：每个自同构不过是把定义多项式的根彼此搅动。于是伽罗瓦群作为这有限多个根的置换群而作用——这是伽罗瓦最初的图景，至今仍是思考它最具计算性的方式。

精确地说，设 f 是 K 上的可分多项式，在分裂域 L 中根为 r_1, ..., r_n。每个 sigma 属于 Gal(L/K) 置换这些根（因为它固定 K，故把 f 的根送到 f 的根），而由于这些根生成 L，此置换完全决定 sigma。这给出一个忠实的单同态 Gal(L/K) -> S_n，把伽罗瓦群实现为 n 个文字上的对称群的子群。其像只在重新标记根的意义下确定，即在 S_n 中共轭意义下确定。

两个结构事实使这一图景威力巨大。其一，作用在根上可迁，恰当 f 在 K 上不可约时成立——于是不可约性翻译为可迁性。其二，判别式、预解式以及循环型信息（由 f 模诸素数分解、借助戴德金定理给出）让你能在 S_n 的可迁子群中精确定位伽罗瓦群。这正是人们如何算出，比如 x^5 - x - 1 的伽罗瓦群是 S_5，因而不可由根式求解。