预解式

预解式是一个辅助多项式，由你真正关心的那个多项式的根构造而成，其设计使得它自身的行为能暴露原多项式隐藏的结构。通过观察预解式是否分解以及如何分解，你就能确定原多项式具有哪个对称群——这是手工计算伽罗瓦群的侦探工具。

具体地说，给定根为 r_1, ..., r_n 的多项式 f 和 S_n 的子群 H，构造一个关于根的辅助表达式（一个多元多项式），让整个对称群置换这些变量。该表达式的轨道给出一个预解多项式的诸根，其系数由于关于诸 r_i 对称，落在基域中。经典的拉格朗日预解式与伽罗瓦预解式（分裂域的本原元）是这一术语的历史来源；线性拉格朗日预解式 (1/n) sum zeta^{-k} sigma^k(alpha) 对于用根式求解循环方程至关重要。

诊断原理如下：附属于子群 H 的预解式恰好在 f 的伽罗瓦群共轭进入 H 时获得一个基域中的根。所以通过计算若干预解式、检查哪些获得有理根（并对它们做因式分解），就能在 S_n 的可迁子群中缩小伽罗瓦群的范围。这是确定低次多项式伽罗瓦群之算法的计算骨干。