对称函数基本定理

有些多变量的多项式表达式并不在意这些变量的次序——交换任意两个都使表达式保持不变。对称函数基本定理断言：每一个这样的表达式，无论多么复杂，都以唯一的方式由一份简短的标准基本对称构件清单搭建而成。

精确地说，x_1, ..., x_n 的多项式称为对称的，若它在变量的每个置换下不变。初等对称多项式 e_1 = sum x_i、e_2 = sum_{i<j} x_i x_j、...、e_n = x_1 x_2 ... x_n 是基本构件。该定理断言：每个对称多项式都能写成 e_1, ..., e_n 的多项式，系数在基环中，且此表达式唯一。用环的语言说，对称多项式环等于多项式环 R[e_1, ..., e_n]，且诸 e_i 代数无关。

这与根和系数直接相连：若 r_1, ..., r_n 是首一多项式的根，则在符号意义下 e_i(r_1, ..., r_n) 恰为其系数（韦达公式）。因此根的任何对称表达式——判别式、幂和、预解式系数——自动是系数的多项式，故落在基域中。这正是为何伽罗瓦理论的不变量无需离开基域即可计算的确切原因。