韦达定理

韦达定理是 “根与系数的关系” 背后的一般原理，从二次方程推广到任意次数的多项式。它揭示：多项式的系数不过是其根的对称组合——根之和、两两乘积之和等等。该定理以法国数学家弗朗索瓦·韦达的名字命名。

对于根为 r、s 的二次式 x^2 + bx + c：r + s = -b，r·s = c。对于根为 r、s、t 的三次式 x^3 + bx^2 + cx + d：r + s + t = -b，rs + rt + st = c，rst = -d。规律是：每个系数（符号交替）等于根的某个特定对称和。

这些公式之所以强大，在于它们反向而行——从根推出系数——而且即便根是无理数或复数时仍然成立。它们是竞赛数学的常客，也是通往伽罗瓦理论的踏脚石：在那里，多项式的根与系数之间的深刻关系成为研究的核心对象。