可分多项式

设想在某个代数闭包上把多项式彻底分解，使它裂成一次因式。可分多项式就是其根全部互异的那种——这些一次因式无一重复。从几何上看，曲线在每个根处干净地穿过坐标轴，而不是触碰后弹回；从代数上看，该多项式没有暗藏一个伺机破坏良好性态的重根。

确切地说，K[x] 中的多项式 f 称为可分的，若它在 K 的某代数闭包中没有重根（部分作者会先要求 f 不可约）。简洁的判别法借助导数：f 有重根当且仅当 f 与其形式导数 f' 有公因子，即 gcd(f, f') 非常数。所以不可约的 f 可分，恰当 f' 不为零。

在完美域上——一切特征 0 的域以及一切有限域——每个不可约多项式自动可分，所以这个概念只有在正特征的不完美域上才起作用。经典的反例是有理函数域 F_p(t) 上的 x^p - t：它等于 (x - t^(1/p))^p，即单根重复 p 次，其导数恒为零。