弗罗贝尼乌斯自同态

在普通算术中，(a + b) 的某次幂是一串杂乱的展开。但在素特征 p 的世界里，(a + b)^p 中几乎所有的交叉项都被 p 整除，因而消失。结果便是“新生之梦”成真：(a + b)^p = a^p + b^p。取 p 次幂竟同时尊重加法与乘法，所以它是一个环同态——弗罗贝尼乌斯自同态——也是特征 p 代数的标志性特征之一。

确切地说，设 R 是素特征 p 的交换环。映射 F(x) = x^p 是 R 的环自同态：它显然满足 F(xy) = F(x)F(y)，又因二项式系数 C(p, k)（0 < k < p）皆被 p 整除而满足 F(x + y) = F(x) + F(y)。在特征 p 的域上其核平凡，故 F 单射；在阶为 q = p^n 的有限域上，第 n 次迭代 F^n 是恒等映射。

弗罗贝尼乌斯是正特征域论的引擎。F 的满射性恰是域为完美域的条件；它在 F_p 上的不动域就是 F_p 本身（这给出费马小定理 a^p = a）；在 F_(p^n) 上弗罗贝尼乌斯生成它在 F_p 上的循环伽罗瓦群。在数论中，它提升到整数环上掌控素数如何分裂。