完美域

完美域是这样一种域：正特征里那些恼人的病态干脆不出现。在这种域上，每个代数扩张都和有理数的扩张一样规整：没有任何极小多项式带重根，没有元素是“不可分的”，伽罗瓦理论也无须额外假设即可运作。你所遇到的大多数域——有理数、实数、复数、一切有限域——都是完美的，这正是这些微妙之处在你刻意寻找之前一直隐而不显的原因。

确切地说，域 K 称为完美的，若 K 的每个代数扩张都可分，等价地若 K 上每个不可约多项式都可分。有一个干净的判据：特征 0 的域总是完美的；特征 p 的域 K 完美当且仅当弗罗贝尼乌斯自同态 x 映到 x^p 满射，即 K 中每个元素在 K 中都有 p 次根。

标准的不完美域是有理函数域 F_p(t)：元素 t 在其中没有 p 次根，故弗罗贝尼乌斯不满射，且 x^p - t 不可约却不可分。过渡到完美闭包（添加所有更高的 p 次幂根）可修复此事。完美性恰是让你能彻底忘掉可分性的那个假设。