域的特征

从 1 出发，不断把它加到自身：1，1+1，1+1+1，如此继续。在有理数中你永远回不到 0，但在模素数 p 的算术里你会——经过 p 步，和便绕回零。域的特征恰恰是达到 0 所需的步数，或者判定为“永不”。它是一个单一的数，0 或某素数，掌控着域最深层的行为。

确切地说，域 K 的特征是使 n 倍的 1（即 n 重和 1 + 1 + ... + 1）等于 0 的最小正整数 n；若不存在这样的 n，则定义为 0。特征总是 0 或某素数 p，因为若它是合数 n = ab，那么 ab = 0 而两因子都非零将与域无零因子相矛盾。

特征把域论分成两个世界。特征 0 的域含有有理数的一份拷贝，且总是完美的；特征 p 的域含有 F_p 的一份拷贝，拥有弗罗贝尼乌斯自同态 x 映到 x^p，并可能藏有不可分性。由 1 生成的最小子域——素域——完全由特征决定：特征 0 时是 Q，特征 p 时是 F_p。