零因子

在普通算术中，如果两个数之积为零，那么其中之一必为零。零因子正是打破这条规则的元素：非零却使乘积仍为零的东西。它们的存在恰恰把一般的环与表现良好的整环世界区分开来。

在环 R 中，非零元素 a 称为零因子，如果存在非零元素 b 使 a·b = 0（左零因子）或 b·a = 0（右零因子）。整环按定义就是没有零因子的交换环。零因子的存在意味着消去律失效：a·b = a·c 不再能推出 b = c。

零因子与交换环的结构紧密相连：一个元素是零因子或为零，当且仅当它落在某个相伴素理想中，而全体零因子构成一些素理想之并。除 0 与 1 外的幂等元，以及非零幂零元，都必然是零因子。在有限交换环中，每个元素要么是单位，要么是零因子，没有第三种可能。