幂零理想

幂零理想是完全由“升到某次幂便消失”的元素组成的理想——它的每一个成员都是幂零的，尽管所用的指数可能各不相同。它收集了环中“无穷小”或“幽灵”般的元素：那些非零却在足够多次自乘后变为零的元素。

环 R 的理想 I 称为幂零理想（nil 理想），如果 I 中每个元素 x 都满足 x^n = 0（对某个正整数 n，n 可依赖于 x）。这比理想为幂零的（nilpotent）更弱，后者要求单一一致的指数：I 是幂零的若 I^m = 0 对某个固定的 m 成立，即 I 中任意 m 个元素之积都为零。每个 nilpotent 理想都是 nil 理想，但 nil 理想未必 nilpotent。

幂零理想包含于雅各布森根之中：任何 nil 理想都包含在 J(R) 内，因为只要 x 幂零，1 − x 就是单位。在交换环中，全体幂零元本身构成一个理想，即幂零根，它是最大的 nil 理想，并等于所有素理想之交。对诺特环而言幂零根是 nilpotent 的，故 nil 与 nilpotent 的区别在此坍缩；而在一般环中这一区别确实存在，关于“两个 nil 左理想之和是否仍 nil”的克特猜想至今著名地悬而未决。