幂零理想

有些理想，如果你把它自乘足够多次，就会彻底坍缩为零。它们是某种经过固定次数自反应后消失的物质的代数类比。幂零理想正是这样的理想：它的某个有限次幂是零理想。这些理想是纯粹的障碍——是一个环在能够半单之前必须甩掉的污垢。

确切地说，环 R 的理想 I 是幂零的，若对某正整数 n 有 I^n = 0，其中 I^n 是由 I 的 n 个元素的一切乘积生成的理想。注意这比要求 I 的每个元素都幂零更强（那个较弱的条件定义幂零理想之外的 nil 理想）：幂零性要求一个统一的指数同时把所有乘积湮灭。

每个幂零理想都落在雅各布森根内，而在阿廷环中根本身是幂零的，所以对有限长环，根是唯一的最大幂零理想。这正是“半单阿廷环是没有幂零理想的环”这一说法的确切含义：杀掉根而得到零，恰是没有自我收缩污垢残留的条件。

一个诚实的区分：幂零蕴含 nil，但一般而言反之不成立。对左阿廷环，二者对理想而言重合，这便是有限维代数舒适的原因；但克特猜想——询问两个 nil 左理想之和是否总是 nil——在完全的一般性下仍未解决，提醒我们 nil 与幂零在更广阔处会分道扬镳。