半单环

有些环干净地碎成互不相干的片段，毫无残渣；另一些则有一块黏附其上、抗拒分解的部分。半单环是干净的那种。其上每个模都完全裂成单片，毫无粘连——没有内部根基，没有阻碍分解的隐藏幂零污垢。它们是表示论运作得尽可能漂亮的环。

确切地说，环 R 是半单的，若把 R 视为其自身上的左模时它是单模的直和。几个等价条件令其威力十足：R 半单当且仅当每个左 R-模都是单模的直和，当且仅当 R-模的每个短正合列都分裂，当且仅当每个 R-模都是投射的。该条件左右对称，故此词无须分边。

在结构上，阿廷–韦德伯恩定理彻底将其钉死：环为半单当且仅当它是若干除环 D_i 上矩阵环 M_{n_i}(D_i) 的有限直积。所以半单环恰是用直积粘起来的一份有限的全矩阵代数清单，其模被完全理解。半单环自动既是阿廷的又是诺特的。

通往表示论的桥梁是马施克定理：有限群 G 在域 k 上的群代数 k[G] 为半单，恰当 k 的特征不整除 G 的阶。这正是为何有限群的复表示分解为不可约表示，也是为何在整除特征下的模表示论更难——那里根基重新出现。