阿廷–韦德伯恩定理

设想有人交给你一个复杂的环，它有个可爱的性质：一切都裂开——每个模都干净地碎成单片。你或许预期会有一大群这样的环。阿廷–韦德伯恩定理给出相反而美丽的惊喜：本质上只有一个配方。每个这样的环都是除环上矩阵代数的短积，别无其他。它是组织整个学科的分类定理。

确切地说：环 R 为半单当且仅当它同构于有限直积 M_{n_1}(D_1) × ... × M_{n_r}(D_r)，其中每个 D_i 是除环、每个 n_i ≥ 1。数据 (r; n_1, ..., n_r; D_1, ..., D_r) 在重排因子与除环同构意义下唯一。对单阿廷环 r = 1，故 R 是单个矩阵环 M_n(D)。

其证明是结构推理的范本：半单 R 分解为其极小左理想的直和，它们归并为同型分量，舒尔引理表明单模的自同态构成除环，而双中心化子模式把 R 实现为该除环上的矩阵。数 n_i 是单模的重数，D_i 是它们的自同态环。

其影响极为深远。在代数闭域上，每个有限维除代数都是该域本身，所以半单代数只是矩阵代数 M_{n_i}(k) 的乘积；这是有限群特征标理论背后的代数骨架，其中维数 n_i 是不可约表示的次数，而 n_i 平方之和等于维数这一关系还原出群的阶。