矩阵环

取任何你信赖的环——整数、某个域，甚至一个非交换环——把它的元素排成 n×n 的方阵。方阵按位相加，并用熟悉的行乘列规则相乘。结果是一个新环，而一旦 n 至少为 2，它就是非交换的，因为交换两个矩阵通常会改变乘积。矩阵环是人人早已半懂的、最先也最重要的非交换例子。

形式上，对环 R 和整数 n ≥ 1，矩阵环 M_n(R) 由所有元素取自 R 的 n×n 矩阵构成，配以矩阵加法与乘法。其单位元是对角线为 1、其余为 0 的矩阵。它的中心由标量矩阵 c*I 组成，其中 c 取自 R 的中心，所以域上的 M_n 的中心同构于该域。M_n(R) 的单位构成一般线性群 GL(n, R)。

矩阵环是典范的单与半单对象。若 D 是除环，则 M_n(D) 是单环——除 0 与整个环外没有双边理想——而阿廷–韦德伯恩定理说，除环上的这些矩阵环恰是每个半单环的砖块。矩阵单位 e_{ij}（仅在 (i, j) 位置为 1）给出具体基底，并编码全部乘法。

需注意的一个细节：M_n(R) 的理想完全来自 R 的理想。具体地，对 R 的每个双边理想 I，M_n(I) 都是双边理想，且 M_n(R) 的每个双边理想都如此产生。所以 M_n(R) 为单当且仅当 R 为单，这正是为何除环（它们是单的）产生单矩阵环。