单环

理想是环得以被切成商的通道。单环则是除了两个平凡通道——零理想与整个环——之外完全没有这种通道的环。没有非平凡的对象可供取商，所以在双边理想的世界里单环是不可分的——是素数或单群的类比。

确切地说，单环是一个非零环 R，其仅有的双边理想是 0 与 R。等价地，从 R 出发的每个非零环同态都是单射，因为其核会是真双边理想。注意这只约束双边理想：单环仍可拥有大量左理想与右理想，矩阵环里正是如此。

最干净的例子是除环 D 上的矩阵环 M_n(D)，它们为单恰因为 D 没有非平凡理想。当加上有限性假设——R 为阿廷环，或在某域上有限维——阿廷–韦德伯恩定理证明这就是仅有的例子：每个单阿廷环都是某个 n 与某个除环 D 上的 M_n(D)。所以单性加有限性给出完整分类。

一个警示：没有有限性，世界会狂野得多。外尔代数 A_1，在特征 0 的域上由 x 与 d 生成并满足 d*x - x*d = 1，是单的却是无限维的，且不是除环上的矩阵环。因此单未必意味着半单——单环未必是其自身上单模之和。