双边理想

在交换环里，理想不过是一个你乘进去仍留在其中的集合。在非交换环里乘法分两边，所以你必须问这个集合是否吸收来自左边、右边还是两边的乘积。双边理想是要求最严的那个：它吸收来自任一边的乘法。它正是那种你可以对其取商仍得到一个环的子集，这便是它成为构造商的核心概念的缘由。

确切地说，环 R 的双边理想是一个加法子群 I，使得对每个 r 属于 R 与 x 属于 I 都有 r*x 属于 I 且 x*r 属于 I。左理想只要求第一个条件，右理想只要求第二个；双边理想恰是同时既左又右的子群。商 R/I 之所以继承良定义的环结构，正因为 I 是双边的。

双边理想是环同态的核：一个子集是某个从 R 出发的同态的核当且仅当它是双边理想，此时同构定理与交换情形完全一样运作。这便是该概念不可或缺的原因；单边理想虽对模论重要，却不是核，也不给出商环。

双边理想的供应量度量一个环离单有多远。环为单恰当其仅有的双边理想是 0 与自身。引人注目的是，一个环可以充满单边理想却几乎没有双边理想：域上的 M_n(k) 有许多左、右理想，却是单的，除平凡的一对外没有双边理想。