外尔代数

想象作用在多项式上的求导运算与乘以 x 的运算。它们几乎可交换，但不尽然：对 x*f 求导得到 f 加上 x 乘以导数，所以 d 与 x 遵守 d*x - x*d = 1 而非 d*x = x*d。外尔代数就是恰由这两个运算与那一条扭转关系生成的抽象环。它是多项式系数微分算子的代数，提炼到最精简的骨架。

确切地说，域 k 上的第 n 个外尔代数 A_n 由 x_1, ..., x_n 与 d_1, ..., d_n 生成，满足关系：x 之间互相交换，d 之间互相交换，且 d_i*x_j - x_j*d_i = delta_{ij}（克罗内克 delta）。它可具体实现为 k[x_1, ..., x_n] 上多项式系数微分算子环，通过乘法与偏导作用。

在特征 0 的域上，外尔代数是一个单的诺特整环，它不是除环、也非有限维——一个干净的例子，表明单不蕴含半单或阿廷。它的中心仅为标量 k，没有非平凡的有限维模，且整体维数为 n，使其成为同调代数与非交换代数中的主力例子。

一个关于特征的警告：在特征 p 下景象剧变。那里 x^p 与 d^p 成为中心元，于是 A_n 不再为单，而表现得像一个大的可交换中心上的有限模——这是许多算术 D-模理论的源头。外尔代数也是欧尔条件成立的典范例子，所以尽管它没有有限维表示，仍嵌入一个分式除环。