诺特环

诺特环是这样一种环：在其中你永远无法把理想严格地越做越大而不止——任何想要构造无尽递增理想链的尝试最终都必须停滞。这一有限性条件以艾米·诺特命名，是交换代数中最重要的“驯服”假设；几乎所有出现在几何与数论中的环都满足它。

确切地说，环 R 称为（左）诺特的，如果它满足（左）理想上的升链条件：每条递增理想链 I_1 ⊆ I_2 ⊆ I_3 ⊆ ... 都稳定下来，即从某处起 I_n = I_{n+1} = ...。两个等价表述往往更方便：每个理想都是有限生成的；以及任何非空理想族关于包含都有极大元。

诺特环之所以无处不在，关键在于希尔伯特基定理：若 R 是诺特环，则多项式环 R[x] 也是。再结合诺特环的商仍是诺特环这一事实，便保证了域上或 Z 上的有限生成代数都是诺特环，这撑起了整个经典代数几何。不过并非每个环都是诺特的——无穷多个变量的多项式环 k[x_1, x_2, x_3, ...] 就不满足链条件。