诺特模

诺特模是这样一种模：你无法把子模无止境地不断扩大——每条严格递增的子模链最终都会停下。这是一个比集合上有限或有限生成弱得多的有限性条件，却强到足以让许多构造终止、许多定理成立。它是诺特环在模这一侧的对应物。

R-模 M 是诺特的，如果它满足升链条件（ACC）：每条子模链 N_1 ⊆ N_2 ⊆ N_3 ⊆ ... 最终恒定。三个条件等价：(i) 子模上的 ACC；(ii) 子模的每个非空族都有极大元；(iii) M 的每个子模都有限生成。最后一种形式在实践中通常最有用。

诺特性传给子模与商，并在扩张下封闭：在短正合序列 0 -> A -> B -> C -> 0 中，B 诺特当且仅当 A 与 C 都诺特。因此环 R 诺特恰当 R 作为自身上的模诺特，此时每个有限生成的 R-模都诺特。这就是为什么 Z 上、域上、或任何多项式环 k[x_1, ..., x_n] 上的有限生成模都是诺特的（经由希尔伯特基定理）。