有限生成模

有限生成模是这样一种模：只用加法与环的标量乘法，你就能从一个有限的元素列表完全到达它——一个具有有限张成集的模。这是模最自然的有限性条件：小到足以由有限数据掌控，但与自由模不同，生成元不必独立，通常也没有基。

确切地说，R-模 M 有限生成，如果存在 m_1, ..., m_n 属于 M 使 M 的每个元素都能写成 r_1 m_1 + ... + r_n m_n，其中 r_i 属于 R。等价地，M 是有限秩自由模的商：存在满射 R^n -> M。生成元之间的关系（此满射的核）承载着其余信息，构成所谓的表现。

一般而言，有限生成比自由、甚至比作为模是诺特要弱得多——但在诺特环上二者重合：模有限生成当且仅当它诺特，此时每个子模也有限生成。主理想整环上模的整个结构定理就是关于有限生成模的论断，而中山引理是局部地推理它们时不可或缺的工具。