有限生成阿贝尔群

在阿贝尔群中，有限生成的那些是被完全理解的——有一个干净的分类，毫无意外。每个这样的群都分裂为一个“自由”部分（计数无限延展的独立方向）加上一个有限的“挠”部分（记录循环圈），而整个群不过是若干循环块的直和。

形式地，阿贝尔群 A 称为有限生成的，若存在有限个元素 g_1, ..., g_n 使 A 的每个元素都是它们的整系数组合。结构定理便说 A 同构于 Z^r ⊕ Z/d_1Z ⊕ ... ⊕ Z/d_kZ，其中 r ≥ 0 是秩（自由部分），而 d_1 | d_2 | ... | d_k 是不变因子。等价地，按素数重新分组，A 是 Z^r 与素数幂阶循环群的直和（初等因子形式）。数据 (r; d_1, ..., d_k) 是完整的同构不变量。

这是有限生成模在主理想整环上的结构定理在 PID 取为 Z 时的阿贝尔特例。它是诸如欧几里得整环上有限生成模的分类，以及矩阵的有理/约当标准形（取 PID 为多项式环）背后的引擎。“有限生成”这一假设至关重要——像加法下的有理数 Q 这类无限生成的阿贝尔群无法被任何这样的有限不变量列表分类。