主理想整环上模的结构定理

结构定理是这条伟大的分类结果，它断言：在主理想整环上，每个有限生成模在同构意义下不过是最简单可能的片段的直和——若干份环的自由拷贝，加上若干个循环挠块。不会出现任何更稀奇古怪的东西。正是这一条定理同时分类了有限生成阿贝尔群，并在线性代数中产生若尔当标准形与有理标准形。

设 R 是主理想整环，M 是有限生成 R-模。则 M ≅ R^r ⊕ R/(d_1) ⊕ R/(d_2) ⊕ ... ⊕ R/(d_k)，其中 r ≥ 0 是自由秩，d_1 | d_2 | ... | d_k 是非零非单位（不变因子），且这些数据唯一。等价地，挠部分分解为素幂循环片段 R/(p^a)（初等因子）。挠子模与自由秩 r 本身就是不变量。

证明依赖于主理想整环上自由模的子模仍自由这一事实，再结合关系矩阵的史密斯标准形：行与列运算把任何表现矩阵化为对角形，对角线上即不变因子。应用于 R = Z 得到有限生成阿贝尔群基本定理；应用于 R = k[x]、M 是由线性算子使之成为 k[x]-模的向量空间时，得到该算子的有理标准形与若尔当标准形。