主理想整环

在某些环里理想可能很复杂，需要同时由许多元素生成。相比之下，在主理想整环中，每个理想都尽可能简单：它就是某个单一元素的全部倍数。整套理想理论坍缩为元素间整除性的研究，这正是为什么主理想整环感觉如此像整数。

严格地说，主理想整环是这样一个整环 R：其中每个理想 I 都形如 (a) = a·R = { a·r : r 属于 R }（对某个 a 属于 R）。等价地，每个理想都由单个元素生成。这类环自动是诺特环，且是唯一分解整环；事实上它们恰好是那些既为唯一分解整环、又满足克鲁尔维数至多为一（每个非零素理想都是极大的）的整环。

主理想整环之所以重要，除了其优雅之外，关键在于主理想整环上有限生成模的结构定理：每个这样的模都是循环模 R/(d_i) 与自由部分的直和。仅这一个定理就同时给出有限生成阿贝尔群的分类（在 Z 上）以及线性算子的有理标准形与若尔当标准形（在 k[x] 上）。要小心：二元多项式环 k[x, y] 不是主理想整环——理想 (x, y) 确实需要两个生成元。