高等环论
唯一分解整环
算术基本定理说每个整数本质上只有一种方式分解为素数。唯一分解整环就是任何让这一梦想仍然成真的环——其中“本质上只有一种方式”被表述得足够精确，以至于能在远比整数古怪的环境中存活下来。
整环 R 是唯一分解整环，如果每个非零非单位元素都能写成若干不可约元素之积，且这种分解在重排因子以及把因子替换为相伴元（乘以单位）的意义下是唯一的。等价地，R 是唯一分解整环当且仅当它是一个整环，其中每个不可约元素都是素元，并且主理想上的升链条件成立——后者保证分解确实存在。
等级关系是 欧几里得整环 ⊂ 主理想整环 ⊂ 唯一分解整环 ⊂ 整环，每个包含都是严格的。一个关键的稳定性结果是：若 R 是唯一分解整环，则多项式环 R[x] 也是（这是高斯引理的推论），所以 Z[x] 和 k[x_1, ..., x_n] 都是唯一分解整环，尽管它们不是主理想整环。唯一分解失效的经典例子是 Z[√−5]，其中 6 = 2·3 = (1 + √−5)(1 − √−5) 给出两个真正不同的不可约分解——正是这种失效促成了戴德金的理想唯一分解。
在 Z[√−5] 中，数 6 有两种互不相容的分解：6 = 2·3 以及 6 = (1 + √−5)(1 − √−5)。这四个因子全都不可约，且任何两个都不相伴，所以 Z[√−5] 不是唯一分解整环。
唯一分解失效的历史性例子。
又称
另见