相伴元

两个元素互为相伴元，如果它们之间只差一个“单位”因子——某个可逆的、不改变分解本质内容的东西，正如 3 与 −3 在差一个符号的意义下是同一个素数。相伴元是“在无关紧要的扭转下相同”这一观念的环论版本。

严格地说，在交换环 R 中，两个元素 a 与 b 互为相伴元，如果 a = u·b 对某个单位 u（在 R 中有乘法逆元的元素）成立。这是一个等价关系；在整环中可对称地重述为：a 与 b 互为相伴元当且仅当 a 整除 b 且 b 整除 a，等价地当且仅当它们生成同一个主理想，即 (a) = (b)。

这一概念对于干净地表述唯一分解是必不可少的：分解成不可约元只在“至多差排序与相伴”的意义下唯一，因为你总可以把单位在因子之间搬来搬去。在 Z 中单位是 ±1，所以 a 唯一的相伴元是 −a。在域中每个非零元素都是单位，故所有非零元素彼此互为相伴元，这正是为什么分解理论在域中是空洞的。