不可约元素

不可约元素是无法被拆成更小的真正零件的元素——环中乘法意义下的“原子”。它推广了素数的观念：素数只允许平凡的分解。

在整环 R 中，一个非零非单位元素 a 称为不可约的，如果只要 a = b·c（b、c 属于 R），b 与 c 之中必有一个是单位。换言之，a 的每个分解都被迫是平凡的，即 a 乘以一个单位。按惯例，单位本身和零都被排除在讨论之外，故“不可约”只留给真正的基本构件。

关键在于：不可约并不等同于素。素元 p 满足更强的性质：p 整除乘积 b·c 时，p 必整除 b 或整除 c。在整环中每个素元都不可约，但反过来可能不成立——在 Z[√−5] 中元素 2 不可约却不是素的，因为它整除 6 = (1 + √−5)(1 − √−5) 却不整除任一因子。这两个概念恰好在唯一分解整环中重合，而正是这种重合使分解得以唯一。