艾森斯坦判别法

证明一个多项式不可约通常很难——你必须排除所有可能的分解。艾森斯坦判别法是一条美妙而廉价的捷径：扫一眼系数，检验单个素数的整除模式，若符合，则不可约性立刻得到保证。

设 f(x) = a_n x^n + ... + a_1 x + a_0 的系数取自整环 R，并设 p 是 R 的一个素理想。假设 p 不包含首项系数 a_n，p 包含其余每个系数 a_0, ..., a_{n−1}，且 p^2（p 中两元素之积所生成的理想）不包含常数项 a_0。那么 f 在 R 的分式域上不可约。在整数上即为：某素数 p 整除除首项外的所有系数，且 p^2 不整除常数项。

该判别法是充分而非必要的——许多不可约多项式都通不过它。把它与代换结合可大幅增强其威力：若 f(x) 不明显满足艾森斯坦条件，f(x + c) 也许满足。其标准胜利是第 p 个分圆多项式 1 + x + ... + x^{p−1}，作代换 x ↦ x + 1 后它在 p 处成为艾森斯坦型，从而证明它在 Q 上不可约。