分圆扩张

在复平面单位圆上画一个正多边形，取它的各个顶点——这些就是单位根，即方程 x^n = 1 的解。把它们全部添加到一个基域上，所得到的就是分圆扩张。由于单位根相乘不过是在同一个圆上旋转，由此产生的对称性异常整齐：伽罗瓦群最终是阿贝尔的。

具体地说，K 的 n 次分圆扩张是 K(zeta_n)，其中 zeta_n 是一个本原 n 次单位根。在有理数上，zeta_n 的极小多项式是第 n 个分圆多项式 Phi_n(x)，它在 Q 上不可约，次数为 phi(n)（欧拉函数）。因此 [Q(zeta_n) : Q] = phi(n)，且该扩张是伽罗瓦的，因为 zeta_n 的共轭（其余的本原 n 次根）都落在 Q(zeta_n) 中。

伽罗瓦群 Gal(Q(zeta_n)/Q) 与单位群 (Z/nZ)^* 典范同构：对每个与 n 互素的 a，自同构 sigma_a 把 zeta_n 送到 zeta_n^a，且 sigma_a 与 sigma_b 复合等于 sigma_{ab}。这使该群是阿贝尔的，并把数论与伽罗瓦理论紧密联系起来——例如克罗内克-韦伯定理断言：Q 的每个有限阿贝尔扩张都包含于某个分圆域之中。