循环扩张

循环扩张是最简单的非平凡伽罗瓦扩张：它的所有对称变换都是单个对称变换的幂。正如时钟的小时由反复前进一格生成，这里每个自同构都是某个生成自同构的若干次迭代。这使循环扩张成为构造可解塔的原子。

形式地说，伽罗瓦扩张 L/K 称为循环的，若 Gal(L/K) 是循环群，即由一个元素生成。每个循环扩张都是阿贝尔的（循环群是阿贝尔的），反过来，借助有限阿贝尔群的结构定理，每个有限阿贝尔扩张都分解为若干循环片段的合成。在含有 n 次单位根的域上，n 次循环扩张恰好是库默尔扩张 K(a^{1/n})；若没有这些根，阿廷-施赖埃尔理论用 x^p - x - a 处理特征 p 的情形。

循环扩张是根式塔的级阶：一个多项式可由根式求解，当且仅当其分裂域位于一座循环（事实上，添加单位根后即库默尔或阿廷-施赖埃尔）扩张之塔的顶端，等价地，当且仅当其伽罗瓦群是可解的。希尔伯特定理 90 给出 n 次循环扩张的乘法描述：一个元素范数为 1 当且仅当它对某生成元 sigma 形如 sigma(b)/b。