库默尔扩张

库默尔扩张是在一种幸运情形下通过取 n 次根所构造的扩张：此时你的基域已经包含了全部 n 次单位根。在这种情形下添加某元素的 n 次根表现得异常良好：对称群是阿贝尔的，而且你能直接从所取根的那些元素读出该群。

精确地说，设 K 是含有本原 n 次单位根的域（于是 n 在 K 中可逆）。指数为 n 的库默尔扩张是形如 L = K(a_1^{1/n}, ..., a_r^{1/n}) 的域，由添加 K 中有限个元素 a_i 的 n 次根得到。这样的 L 是 K 的有限阿贝尔扩张，其伽罗瓦群的指数整除 n。库默尔理论把这变成一个精确的对应：K 的指数为 n 的阿贝尔扩张与 K^* / (K^*)^n 中包含 (K^*)^n 的子群一一对应，该子群由诸 a_i 生成。

“单位根已经存在”这一假设是本质的，也正是关键所在。若没有它——例如把 2 的实立方根添加到缺少本原三次单位根的 Q 上——所得扩张甚至不是伽罗瓦的，干净的阿贝尔描述随之瓦解。库默尔理论是结构定理的逆向伙伴：在含有足够多单位根的域上，每个 n 次循环扩张都可由添加单个 n 次根得到。