希尔伯特定理 90
希尔伯特定理 90 是这样一个令人惊讶的事实：对一个良好的域扩张，每个范数为一的元素暗地里都是某元素与其共轭之比。其最初形式针对带生成元 σ 的循环扩张：若元素 a 范数为 1（其所有共轭之积等于 1），则 a 必等于某 b 的 b/σ(b)。它看似一个特殊的解方程技巧，实则是某上同调群消没的可见外貌。
上同调形式的陈述是：对任意有限伽罗瓦扩张 L/K、群为 G，乘法群的第一上同调消没，即 H^1(G, L^*) = 0。展开定义，一个 1 阶上闭链是映射 g |-> a_g 属于 L^*、满足 a_{gh} = a_g · g(a_h)，消没意味着每个此类上闭链都是主的：a_g = g(b)/b，其中 b 属于 L^*。经典的范数为一陈述是 G 由 σ 生成的循环情形、且上闭链由 a_σ = a 决定的特例。
该定理是库默尔理论与循环扩张刻画的承重墙：与来自 1 -> μ_n -> L^* -> L^* -> 1（n 次幂映射）的长正合序列结合，它给出 K^*/(K^*)^n ≅ H^1(G, μ_n)，当 K 含 n 次单位根时分类 n 次循环扩张。一个加法版本，即加法希尔伯特 90，断言 H^1(G, L) = 0，它更简单，由正规基定理推出。
取 L = Q(i)，K = Q，G = {1, σ}，σ 为复共轭。元素 a + bi 的范数为 a^2 + b^2；若它等于 1，则 a + bi = b'/σ(b')，其中 b' 属于 L^*。例如 3/5 + 4i/5（范数为 1）等于 (2 + i)/σ(2 + i) = (2 + i)/(2 - i)。
一个范数为一的高斯有理数写成 b/σ(b)。
此名源于它是希尔伯特 1897 年《数论报告》中的第 90 个定理；上同调推广归功于埃米·诺特。乘法情形的消没是特殊的——H^2(G, L^*) 一般非零，给出布饶尔群。