正规基定理

通常我们多少是任意地选取扩张的一组基——比如为 Q(sqrt(2)) 选 1、sqrt(2)。正规基定理说，你可以做一件远为优雅的事：选取单个巧妙的元素，使它连同它在伽罗瓦群下的全部像一起构成一组基。于是整组基就是一条轨道，被群搅来搅去。

精确地说，若 L/K 是有限伽罗瓦扩张，伽罗瓦群为 G = {sigma_1, ..., sigma_n}，则存在元素 alpha 属于 L，其共轭 sigma_1(alpha)、...、sigma_n(alpha) 构成 L 的一组 K-基。这样的 alpha 称为正规基生成元，它所产生的基称为正规基。等价地，L 是群代数 K[G] 上秩为 1 的自由模；G 的正则表示在 L 内被具体地实现。

这不仅是审美上的。因为 G 置换正规基的方式恰好与它通过左乘置换自身的方式相同，伽罗瓦群在 L 上的作用就变成了正则表示，这在计算上和理论上都很方便——正规基用于有限域上的快速算术，以及把 L 描述为伽罗瓦模的结构。无限域情形的证明用范德蒙德/特征标无关性论证；有限域情形需要单独的、更细致的处理。