伽罗瓦扩张

可以把伽罗瓦扩张想成一种对称性达到极致的域扩张：它恰好为其多项式所要求的每一个根都留出了空间，又不存在那种暗中重合的别扭根。当这两种良好性质同时成立时，扩张的对称群就达到了它可能的最大规模，而这种对称性正是理解该域的有力工具。

精确地说，代数扩张 L/K 是伽罗瓦扩张，如果它在 K 上既是正规的又是可分的。正规是指：K[x] 中任一不可约多项式只要在 L 中有一个根，就在 L 中完全分裂；可分是指：K 上任一不可约多项式在 L 中没有重根。等价地，L/K 是伽罗瓦扩张当且仅当自同构群 Aut(L/K) 的不动域恰好是 K；对有限扩张而言，当且仅当 L 的 K-自同构个数等于次数 [L : K]。此时群 Aut(L/K) 称为伽罗瓦群，记作 Gal(L/K)。

一个值得牢记的注意点：在特征 0 时，以及在任何有限域上，可分性是自动成立的，所以那里伽罗瓦就等于正规。微妙之处出现在正特征且基域不完美的情形，此时不可分性会破坏等式 [L:K] = |Gal(L/K)|。此外，“伽罗瓦”是对 L/K 这一对而言的性质，而非单独对 L 而言：一个域在某个基域上可能是伽罗瓦的，在另一个介于其间的基域上却不是。