不动域

设想一群对称变换在搅动一个域中的元素。有些元素被挪来挪去；另一些则无论你施加哪个对称变换都纹丝不动。那些永不移动的元素构成了不动域——所有对称变换都一致同意不去触碰的“不变核心”。

形式地说，设 L 是一个域，H 是 L 的一个自同构群。H 的不动域常记作 L^H，是所有满足 sigma(x) = x（对每个 sigma 属于 H）的 x 属于 L 的集合。由于自同构保持加法、乘法和求逆，这个集合对这些运算封闭，故 L^H 是 L 的一个子域，且包含素域。整套伽罗瓦理论的机制正是建立在子群 H 与其不动域 L^H 之间的来回穿梭之上。

不动域会反转包含关系：更大的对称群施加更多约束，因而固定的元素更少，给出更小的不动域。在最干净的情形下（阿廷定理），若 H 有限，则 L 在 L^H 上是伽罗瓦的，伽罗瓦群恰为 H，且 [L : L^H] = |H|。正是这一点使伽罗瓦对应成为真正的双射，而非松散的配对。