伽罗瓦对应

伽罗瓦对应是一部字典，把关于域的问题翻译成关于群的问题。夹在 K 与伽罗瓦扩张 L 之间的域构成一个格；伽罗瓦群的子群构成另一个格；这一对应把它们完美地匹配起来，但是上下颠倒的——最大的域对应最小的群，反之亦然。

具体地说，对有限伽罗瓦扩张 L/K，设 G = Gal(L/K)，则在中间域 F（满足 K 包含于 F 包含于 L）与 G 的子群 H 之间存在一个反转包含的双射。它把 F 送到固定 F 的自同构子群 Gal(L/F)，把 H 送到其不动域 L^H。这两个映射互逆：Gal(L/L^H) = H 且 L^{Gal(L/F)} = F。此外次数与指数相匹配：[L : F] = |Gal(L/F)| 且 [F : K] = [G : Gal(L/F)]。

该对应还追踪正规性：中间域 F 自身是 K 的伽罗瓦（等价地正规）扩张，当且仅当 Gal(L/F) 是 G 的正规子群；此时 Gal(F/K) 同构于商群 G / Gal(L/F)。这正是“求解域的塔”变成“关于群的次正规列的问题”的确切含义——也是把多项式的根式可解性与群的可解性联系起来的桥梁。